Поставим опыт
Изучим, как скатывается шарик с наклонной плоскости. На рисунке 5.1 показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени.
Видно, что шарик движется неравномерно: пути, проходимые им за последовательные равные промежутки времени, увеличиваются. Следовательно, скорость шарика увеличивается.
Движение шарика, скатывающегося с наклонной плоскости, является примером прямолинейного равноускоренного движения. Такое движение вы уже изучали в курсе физики основной школы. Напомним его определение.
Прямолинейным равноускоренным движением называют прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину.
Прямолинейно равноускоренно может двигаться, например, автомобиль во время разгона (рис. 5.2, а). Однако непривычным может показаться то, что при торможении (рис. 5.2, б) автомобиль тоже может двигаться прямолинейно равноускоренно! Ведь в определении прямолинейного равноускоренного движения речь идет не об увеличении скорости, а только об ее изменении.
Дело в том, что понятие ускорения в физике шире, чем в разговорном языке. В обыденной речи под ускорением понимают обычно только увеличение скорости. Мы же будем говорить, что тело движется с ускорением всегда, когда скорость тела изменяется со временем любым образом (увеличивается или уменьшается по модулю, изменяется по направлению и т. п.).
Может возникнуть вопрос: почему мы уделяем внимание именно прямолинейному равноускоренному движению? Забегая немного вперед, выдадим «секрет»: именно с таким движением мы будем очень часто иметь дело при изучении механики.
Напомним (об этом уже говорилось в курсе физики основной школы), что под действием постоянной силы тело движется прямолинейно равноускоренно. (Если начальная скорость тела равна нулю или направлена вдоль линии действия силы.) А во многих задачах по механике рассматривается именно такая ситуация. Ниже мы рассмотрим подробно ее различные варианты.
2. Ускорение
В определении прямолинейного равноускоренного движения речь идет об изменении скорости. Как определяют изменение скорости?
Обозначим 0 скорость тела в начальный момент времени, а – скорость тела через промежуток времени t. Тогда изменение скорости за этот промежуток времени
Эту формулу можно переписать также в виде
На рисунке 5.3 показано, как найти вектор изменения скорости Δ в случае прямолинейного неравномерного движения.
1. Какому из рисунков 5.3 (а или б) соответствует увеличение скорости, а какому – уменьшение?
Введем теперь понятие ускорения.
Ускорением называют отношение изменения скорости Δ к промежутку времени Δt, за который произошло это изменение:
(Здесь в общем случае надо говорить о мгновенном ускорении, которое определяется с помощью достаточно малых промежутков времени – подобно тому, как мы определяли выше мгновенную скорость. При прямолинейном равноускоренном движении мгновенное ускорение постоянно.)
Как следует из этого определения, ускорение – векторная величина. Она характеризует скорость изменения скорости. Единицей ускорения в СИ является 1 м/с 2 (читают: «метр в секунду за секунду» или «метр делить на секунду в квадрате»). Если тело движется с таким по модулю ускорением в одном направлении, то его скорость каждую секунду увеличивается (или уменьшается!) на 1 м/с.
Когда тело падает, оно движется с ускорением, равным примерно 10 м/с 2 (если можно пренебречь сопротивлением воздуха).
Рассмотрим теперь, при каком условии скорость тела увеличивается, а при каком – уменьшается. Из определения (3) следует, что
На рисунке 5.4 мы заменили (по сравнению с рисунком 5.3) Δ на равное ему выражение Δt.
Мы видим теперь, что скорость тела увеличивается, если ускорение направлено так же, как начальная скорость (рис. 5.4, а). Если же ускорение направлено противоположно скорости (рис. 5.4, б), то скорость тела уменьшается.
2. На каком из рисунков 5.2 (а или б) ускорение автомобиля направлено влево?
Выберем начальный момент времени t 0 = 0, тогда Δt = t – t 0 = t – 0 = t. Поскольку Δ = – 0 , из формулы (4) получаем
Направим ось x вдоль траектории движения тела. Тогда
v x = v 0x + a x t. (6)
Здесь v x – проекция скорости в момент времени t, v 0x – проекция начальной скорости, a x – проекция ускорения.
В формуле (6) проекция начальной скорости v 0x и проекция ускорения a x могут быть положительными и отрицательными. В зависимости от соотношения знаков v 0x и ax модуль скорости тела будет увеличиваться или уменьшаться со временем.
Рассмотрим примеры.
3. Четыре автомобиля движутся вдоль оси x. В течение некоторого времени зависимость vx(t) выражается для них (в единицах СИ) формулами:
1) v x = 8 + 2t; 2) v x = 20 – 4t; 3) v x = –10 + t; 4) v x = –15 – 3t.
а) Чему равны проекции начальной скорости и ускорения каждого автомобиля?
б) Какие автомобили разгоняются, а какие – тормозят?
в) Скорость какого автомобиля наибольшая по модулю в момент времени t = 2 с? наименьшая?
Выполнив это задание, вы заметите, что скорость тела увеличивается по модулю, если проекция начальной скорости и проекция ускорения имеют одинаковые знаки (обе положительные или обе отрицательные).
Если же проекции начальной скорости и ускорения имеют разные знаки, то скорость тела сначала уменьшается по модулю. В некоторый момент скорость тела станет равной нулю, после чего (если ускорение останется прежним) направление скорости изменится на противоположное и модуль скорости тела начнет увеличиваться. Далее мы рассмотрим это на примере тела, брошенного вертикально вверх.
3. График зависимости скорости от времени
Из формулы (6) следует, что при прямолинейном равноускоренном движении проекция скорости vx линейно зависит от времени t. Поэтому график зависимости v x (t) – отрезок прямой.
На рисунке 5.5 изображены графики зависимости проекции скорости от времени для синего и красного автомобилей, движущихся вдоль оси x.
а) Какой из автомобилей тормозит? Чему равен модуль его ускорения?
б) У какого автомобиля модуль ускорения меньше? Чему он равен?
в) Запишите зависимость vx(t) для каждого автомобиля.
г) Используя эту запись, найдите момент времени, когда скорости автомобилей станут равными. Проверьте полученный ответ по приведенным графикам.
5. На рисунке 5.6 изображены графики зависимости проекции скорости от времени для тел, движущихся вдоль оси x.
а) Какие графики описывают движение тела, скорость которого все время увеличивается по модулю?
б) На каких графиках v0x и ax имеют разные знаки?
в) Какие графики описывают случаи, когда направление скорости тела изменяется на противоположное?
г) Начертите для всех изображенных случаев графики зависимости модуля скорости от времени.
6. Зависимость проекции скорости от времени для первого тела выражается в единицах СИ формулой v 12 = 6 – Зt, а для второго – формулой v 2x = 2 + t.
а) Изобразите графики vx(t) для каждого тела.
б) В какой момент скорости тел равны (по модулю и по направлению)?
в) В какие моменты скорости тел равны по модулю?
Дополнительные вопросы и задания
7. От платформы отправляется поезд на восток. В это же время у соседней платформы тормозит поезд, идущий на запад. Сделайте схематический рисунок, на котором покажите направления скорости и ускорения каждого поезда.
8. Как направлено ускорение лифта, когда он:
а) начинает двигаться с первого этажа?
б) тормозит на верхнем этаже?
в) тормозит на третьем этаже, двигаясь вниз?
г) начинает движение на третьем этаже, двигаясь вверх?
Движение лифта при разгоне и торможении считайте равноускоренным.
9. Автомобиль трогается с места в направлении на север и набирает скорость 72 км/ч за 40 с. Движение автомобиля считайте прямолинейным равноускоренным.
а) Как направлено ускорение автомобиля?
б) Чему равно ускорение автомобиля по модулю?
в) Начертите график зависимости проекции скорости автомобиля от времени.
г) Какой была скорость автомобиля через 10 с после начала движения?
Это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т.е. ускорение постоянно.
Примерами такого движения является свободное падение тел вблизи поверхности Земли и движение под действием постоянной силы.
При равноускоренном прямолинейном движении координата тела меняется с течением времени в соответствии с законом движения:
где x 0 – начальная координата материальной точки, 0 x – проекция начальной скорости иa x – проекция ускорения точки на ось 0X .
Проекция скорости материальной точки на ось 0X в этом случае меняется по следующему закону:
При этом проекции скорости и ускорения могут принимать различные значения, в том числе и отрицательные.
Графики зависимости x (t ) иx (t ) представляют собой соответственно прямую и параболу, причем, как и в алгебре, по коэффициентам в уравнениях прямой и параболы можно судить о расположении графика функции относительно координатных осей.
|
|
На рисунке 6 приведены графики для x (t ),x (t ),s (t ) в случаеx 0 > 0, 0 x > 0,a x < 0. Соответственно прямая(t ) имеет отрицательный наклон (tg =a x < 0).
3. Вращательное движение и его кинематические параметры. Связь между угловой и линейной скоростями.
Равномерное движение по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью, т.е.= const (рис. 7). Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется, поэтому равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением.
Для описания равномерного движения тела по окружности вводят следующие физические величины: период ,частота обращения ,линейная скорость ,угловая скорость ицентростремительное ускорение .
Период обращения T – время, за которое совершается один полный оборот.
Частота обращения – это число оборотов, совершаемых телом за 1 с. Единицей частоты обращения в СИ является с –1 .
Частота и период обращения связаны между собой соотношением .
Вектор скорости при движении точки по окружности постоянно изменяет свое направление (рис. 8).
При равномерном движении тела по окружности отрезок пути s , пройденный за промежуток времениt , является длиной дуги окружности. Отношениепостоянно во времени и называетсямодулем линейной скорости. За время, равное периоду обращенияТ , точка проходит расстояние, равное длине окружности 2R , поэтому
Скорость вращения твердых тел принято характеризовать физической величиной, называемой угловой скоростью , модуль которой равен отношению угла поворота телак промежутку времени, за которое этот поворот совершен (рис. 8):
Единицей угловой скорости в СИ является с –1 .
Так как ориентация твердого тела одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно, то и угловая скорость обращения твердого тела будет одинакова во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга поступательно.
При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси любая точка этого тела движется вокруг этой же оси по окружности радиусом R с линейной скоростью, которая равна
Если начальные координаты точки равны (R ; 0), то ее координаты меняются по законуx (t ) =R cost иy (t ) =R sint .
Равноускоренное движение - движение тела с постоянным ускорением под действием постоянной по величине силы.
Ускорение - это величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени,
за которое это изменение произошло.
Ускорение показывает изменение модуля вектора скорости в единицу времени.
Расчетная формула:
Единица измерения ускорения в СИ:
- это ускорение, при котором за 1 с скорость тела меняется на 1 м/c.
Скорость тела увеличивается, когда векторы скорости и ускорения сонаправлены.
Скорость тела уменьшается, когда векторы скорости и ускорения направлены противоположно.
Формула скорости прямолинейного равнокскоренного движения в векторном виде:
Вывод формулы скорости в проекциях:
График скорости:
Площадь заключенного под графиком скорости треугольника дает величину перемещения тела за данный отрезок времени.
Возможные варианты графика скорости в проекциях в зависимости от начальной скорости и ускорения:
1-ый случай: векторы скорости и ускорения сонаправлены;
2-ой случай: векторы скорости и ускорения направлены противоположно;
3-ий случай: начальная скорость равна 0.
Домашняя работа.
Задание 1. Ответить на вопросы.
1. К какому виду движения — равномерному или неравномерному — относится прямолинейное равноускоренное движение?
2. Что понимают под мгновенной скоростью неравномерного движения?
3. Дайте определение ускорения равноускоренного движения. Какова единица ускорения?
4. Что такое равноускоренное движение?
5. Что показывает модуль вектора ускорения?
6. При каком условии модуль вектора скорости движущегося тела увеличивается; уменьшается?
Задание 2. Решить задачи:
1 уровень
Автомобиль, движущийся из состояния покоя, за 5с развил скорость 10 м/с. С каким постоянным ускорением движется автомобиль?
2 уровень
Автомобиль, движущийся с о скоростью 36 км/ч, останавливается при торможении в течение 4 с. С каким постоянным ускорением двигался автомобиль?
3 уровень
Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением 1,5 м/с2. Через какое время он приобретет скорость 54 км/ч?
Задание 3. Определить положение тел.
I тело:
2. скорость через 2 с - ____________
3. ускорение - ___________________
4. выразить из формулы а=
II тело:
1. начальная скорость - ___________
2. скорость через 6 с - _____________
3. ускорение - ________________
4. выразить из формулы а=
5. записать уравнение скорости.
Задание 4. Решите графические задачи.
1. На рисунке представлены графики скорости от времени, записанные уравнениями:
I - = 8+0,8t
II - = 0,8t
III - = 16 - 2t
Выписать, чему равна начальная скорость, ускорение.
2. На рисунке представлен график скорости от времени.
Определить ускорение на каждом участке. Построить график ускорения от времени.
3. По графикам зависимости (t) определите для каждого тела начальную скорость и ускорение.
1. Реальное механическое движение - это движение с изменяющейся скоростью. Движение, скорость которого стечением времени изменяется, называют неравномерным движением .
При неравномерном движении координату тола уже нельзя определить но формуле \(x=x_0+v_xt \) , так как значение скорости движения не является постоянным. Поэтому для характеристики быстроты изменения положения тела с течением времени при неравномерном движении вводят величину, называемую средней скоростью .
Средней скоростью \(\vec{v}_{ср} \) неравномерного движения называют физическую величину, равную отношению перемещении \(\vec{s} \) тела ко времени \(t \) , за которое оно произошло: \(\vec{v}_{ср}=\frac{s}{t} \) .
Записанная формула определяет среднюю скорость как векторную величину. В практических целях этой формулой можно воспользоваться для определения модуля средней скорости лишь в том случае, когда тело движется вдоль прямой в одну сторону. Если же нужно определить среднюю скорость движения автомобиля от Москвы до Санкт-Петербурга и обратно, чтобы рассчитать расход бензина, то эту формулу применить нельзя, поскольку перемещение в этом случае равно нулю и средняя скорость тоже равна нулю. Поэтому на практике при определении средней скорости пользуются величиной, равной отношению пути \(l \) ко времени \(t \) , за которое этот путь пройден: \(v_{ср}=\frac{l}{t} \) . Эта скорость обычно называется средней путевой скоростью.
2. Важно, что, зная среднюю скорость неравномерного движения на каком-либо участке траектории, нельзя определить положение тела на этой траектории в любой момент времени. Например, если средняя скорость движения автомобиля за 2 часа 50 км/ч, то мы не можем сказать, где он находился через 0,5 часа от начала движения, через 1 час, 1,5 часа и т.п., поскольку он мог первые полчаса двигаться со скоростью 80 км/ч, затем какое-то время стоять, а какое-то время ехать в пробке со скоростью 20 км/ч.
3. Двигаясь по траектории, тело проходит последовательно все её точки. В каждой точке траектории оно находится в определённые моменты времени и имеет какую-то скорость.
Мгновенной скоростью называют скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории.
Предположим, некоторое тело совершает неравномерное прямолинейное движение (рис. 17), его скорость в точке О можно определить следующим образом: выделим на траектории участок AB, внутри которого находится точка О. Перемещение тела на этом участке — \(\vec{s}_1 \) совершено за время \(t_1 \) . Средняя скорость движения на этом участке – \(\vec{v}_{ср.1}=\frac{s_1}{t_1} \) . Уменьшим перемещение тела. Пусть оно равно \(\vec{s}_2 \) , а время движения - \(t_2 \) . Тогда средняя скорость за это время: \(\vec{v}_{ср.2}=\frac{s_2}{t_2} \) . Еще уменьшим перемещение, средняя скорость на этом участке: \(\vec{v}_{ср.3}=\frac{s_3}{t_3} \) .
При дальнейшем уменьшении перемещения и соответственно времени движения тела они станут такими маленькими, что прибор, например спидометр, перестанет фиксировать изменение скорости, и движение за этот малый промежуток времени можно считать равномерным. Средняя скорость на этом участке и есть мгновенная скорость тела в т.О.
Таким образом, мгновенной скоростью называют векторную физическую величину, равную отношению малого перемещения (\(\Delta{\vec{s}} \) ) к малому промежутку времени \(\Delta{t} \) , за которое это перемещение произошло: \(\vec{v}=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}} \) .
4. Одним из видов неравномерного движения является равноускоренное движение. Равноускоренным движением называют движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одно и то же значение.
Слова «любые равные промежутки времени» означают, что какие бы равные промежутки времени (2 с, 1 с, доли секунды и т.п.) мы ни взяли, скорость всегда будет изменяться одинаково. При этом её модуль может как увеличиваться, так и уменьшаться.
5. Характеристикой равноускоренного движения, помимо скорости и перемещения, является ускорение.
Пусть в начальный момент времени \(t_0=0 \) скорость тела равна \(\vec{v}_0 \) . В некоторый момент времени \(t \) она стала равной \(\vec{v} \) . Изменение скорости за промежуток времени \(t-t_0=t \) равно \(\vec{v}-\vec{v}_0 \) (рис.18). Изменение скорости за единицу времени равно: \(\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t} \) . Эта величина и есть ускорение тела, она характеризует быстроту изменения скорости \(\vec{a}=\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t} \) .
Ускорение тела при равноускоренном движении - векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к промежутку времени, за который это изменение произошло.
Единица ускорения \([a]=[v]/[t] \) ; \([a] \) = 1 м/с/1 с = 1 м/с 2 . 1 м/с 2 - это такое ускорение, при котором скорость тела изменяется за 1 с на 1 м/с.
Направление ускорения совпадает с направлением скорости движения, если модуль скорости увеличивается, ускорение направлено противоположно скорости движения, если модуль скорости уменьшается.
6. Преобразовав формулу ускорения, можно получить выражение для скорости тела при равноускоренном движении: \(\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t \) . Если начальная скорость тела \(v_0=0 \) , то \(\vec{v} = \vec{a}t \) .
Чтобы определить значение скорости равноускоренного движения в любой момент времени, следует записать уравнение для проекции скорости на ось ОХ. Оно имеет вид: \(v_x = v_{0x} + a_xt \) ; если\(v_{0x}=0 \) , то \(v_x = a_xt \) .
7. Как видно из формулы скорости равноускоренного движения, она линейно зависит от времени. Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая, составляющая некоторый угол с осью абсцисс (осью времени). На рисунке 19 приведены графики зависимости модуля скорости от времени.
График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 2 - движению с начальной скоростью \(v_{02} \) и с ускорением, направленным так же, как и скорость; график 3 - движению с начальной скоростью \(v_{03} \) и с ускорением, направленным в сторону, противоположную направлению скорости.
8. На рисунке приведены графики зависимости проекции скорости равноускоренного движения от времени (рис. 20).
График 1 соответствует движению без начальной скорости с ускорением, направленным вдоль положительного направления оси X; график 2 - движению с начальной скоростью \(v_{02} \) , с ускорением и скоростью, направленными вдоль положительного направления оси X; график 3 - движению с начальной скоростью \(v_{03} \) : до момента времени \(t_0 \) направление скорости совпадает с положительным направлением оси X, ускорение направлено в противоположную сторону. В момент времени \(t_0 \) скорость равна нулю, а затем и скорость, и ускорение направлены в сторону, противоположную положительному направлению оси X.
9. На рисунке 21 приведены графики зависимости проекции ускорения равноускоренного движения от времени.
График 1 соответствует движению, проекция ускорения которого положительна, график 2 - движению, проекция ускорения которого отрицательна.
10. Формулу перемещения тела при равноускоренном движении можно получить, используя график зависимости проекции скорости этого движения от времени (рис. 22).
Выделим на графике малый участок \(ab \) и опустим перпендикуляры из точек \(a \) и \(b \) на ось абсцисс. Если промежуток времени \(\Delta{t} \) , соответствующий участку \(cd \) на оси абсцисс мал, то можно считать, что скорость в течение этого промежутка времени не изменяется и тело движется равномерно. В этом случае фигура \(cabd \) мало отличается от прямоугольника и её площадь численно равна проекции перемещения тела за время, соответствующее отрезку \(cd \) .
На такие полоски можно разбить всю фигуру ОАВС, и её площадь равна сумме площадей всех полосок. Следовательно, проекция перемещения тела за время \(t \) численно равна площади трапеции ОАВС. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: \(S_x= \frac{1}{2}(OA+BC)OC \) .
Как видно из рисунка, \(OA=v_{0x},BC=v_x,OC=t \) . Отсюда следует, что проекция перемещения выражается формулой \(S_x= \frac{1}{2}(v_{0x}+v_x)t \) . Так как \(v_x = v_{0x} + a_{xt} \) , то \(S_x= \frac{1}{2}(2v_{0x} + a_xt)t \) , отсюда \(S_x=v_{0x}t+ \frac{a_xt^2}{2} \) . Если начальная скорость равна нулю, то формула имеет вид \(S_x=\frac{at^2}{2} \) . Проекция перемещения равна разности координат \(S_x=x-x_0 \) , поэтому: \(x-x_0=v_{0x}t+\frac{at^2}{2} \) , или \(x=x_{0x}+v_{0x}t+\frac{at^2}{2} \) .
Полученная формула позволяет определить положение (координату) тела в любой момент времени, если известны начальная скорость, начальная координата и ускорение.
11. На практике часто используют формулу или \(v^2_x-v^2_{0x}=2a_xs_x \) , или \(v^2-v^2_{0}=2as \) .
Если начальная скорость тела равна нулю, то: \(v^2_x=2a_xs_x \) .
Полученная формула позволяет рассчитать тормозной путь транспортных средств, т.е. путь, который проезжает, например, автомобиль до полной остановки. При некотором ускорении движения, которое зависит от массы автомобиля и силы тяги двигателя, тормозной путь тем больше, чем больше начальная скорость автомобиля.
Часть 1
1. Hа рисунке приведены графики зависимости пути и скорости тела от времени. Какой график соответствует равноускоренному движению?
2. Автомобиль, начав двигаться из состояния покоя но прямолинейной дороге, за 10 с приобрел скорость 20 м/с. Чему равно ускорение автомобиля?
1) 200 м/с 2
2) 20 м/с 2
3) 2 м/с 2
4) 0,5 м/с 2
3. На рисунках представлены графики зависимости координаты от времени для четырёх тел, движущихся вдоль оси \(Оx \) . У какого из тел в момент времени \(t_1 \) скорость движения равна нулю?
4. На рисунке представлен график зависимости проекции ускорения от времени для тела, движущегося прямолинейно вдоль оси \(Оx \) .
Равноускоренному движению соответствует участок
1) только ОА
2) только АВ
3) только ОА и ВС
4) только CD
5. При изучении равноускоренного движения измеряли путь, пройденный телом из состояния покоя за последовательные равные промежутки времени (за первую секунду, за вторую секунду и т.д.). Полученные данные приведены в таблице.
Чему равен путь, пройденный телом за третью секунду?
1) 4 м
2) 4,5 м
3) 5 м
4) 9 м
6. На рисунке представлены графики зависимости скорости движения от времени для четырёх тел. Тела движутся по прямой.
Для какого(-их) из тел - 1, 2, 3 или 4 - вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости?
1) только 1
2) только 2
3) только 4
4) 3 и 4
7. Используя график зависимости скорости движения тела от времени, определите его ускорение.
